Развернутая и свернутая формы записи чисел. Развернутая форма записи числа Развернутая и краткая форма записи числа

Ключевые слова:

система счисления
цифра
алфавит
позиционная система счисления
основание
развёрнутая форма записи числа
свёрнутая форма записи числа
двоичная система счисления
восьмеричная система счисления
шестнадцатеричная система счисления

1.1.1. Общие сведения о системах счисления

Рис. 1.1.
Знаки, используемые для записи чисел в различных системах счисления

В любой системе счисления цифры служат для обозначения чисел, называемых узловыми; остальные числа (алгоритмические) получаются в результате каких-либо операций из узловых чисел.

Пример 1 . У вавилонян узловыми являлись числа 1, 10, 60; в римской системе счисления узловыми являются числа 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000, обозначаемые соответственно I, V, X, L, С, D, М.

Системы счисления различаются выбором узловых чисел и способами образования алгоритмических чисел. Можно выделить следующие виды систем счисления:

унарные системы;
непозиционные системы;
позиционные системы.

Простейшая и самая древняя система - так называемая унарная система счисления. В ней для записи любых чисел используется всего один символ - палочка, узелок, зарубка, камушек. Длина записи числа при таком кодировании прямо связана с его величиной, что роднит этот способ с геометрическим представлением чисел в виде отрезков. Именно унарная система лежит в фундаменте арифметики, и именно она до сих пор вводит первоклассников в мир счёта. Унарные системы ещё называют системами бирок.

В непозиционных системах счисления числа образуются путём сложения узловых чисел.

Пример 2 . В древнеегипетской системе счисления числа 1, 2, 3, 4, 10, 13, 40 обозначались соответственно следующим образом:

Те же числа в римской системе счисления обозначаются так: I, II, III, IV, X, XIII, XL. Здесь алгоритмические числа получаются путём сложения и вычитания узловых чисел с учётом следующего правила: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него.

Десятичная система записи чисел, которой мы привыкли пользоваться в повседневной жизни, с которой мы знакомы с детства, в которой производим все наши вычисления, - пример позиционной системы счисления. В ней алгоритмические числа образуются следующим образом: значения цифр умножаются на «веса» соответствующих разрядов и все полученные значения складываются. Это отчётливо прослеживается в числительных русского языка, например: «три-ста пять-десят семь».

Основанием позиционной системы счисления может служить любое натуральное число q > 1.

Алфавит десятичной системы составляют цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Алфавитом произвольной позиционной системы счисления с основанием q служат числа 0, 1, ..., q-1, каждое из которых может быть записано с помощью одного уникального символа; младшей цифрой всегда является О.

Основные достоинства любой позиционной системы счисления - простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов, необходимых для записи любых чисел.

a 1 - цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;

q 1 - «вес» i-гo разряда.

Запись числа по формуле (1) называется развёрнутой формой записи. Свёрнутой формой записи числа называется его представление в виде ±a n-1 a n-2 ...a 1 a 0 ,a -1 ...a -m 1

1 Далее будут рассматриваться только положительные целые числа.

Пример 3. Рассмотрим десятичное число 14351,1. Его свёрнутая форма записи настолько привычна, что мы не замечаем, как в уме переходим к развёрнутой записи, умножая цифры числа на «веса» разрядов и складывая полученные произведения:

1 10 4 + 4 10 3 + 3 10 2 + 5 10 1 + 1 10 0 + 1 10 -1 .

1.1.2. Двоичная система счисления

Двоичной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 2. Для записи чисел в двоичной системе счисления используются только две цифры: 0 и 1.

На основании формулы (1) для целых двоичных чисел можно записать:

Например:

10011 2 = 1 2 4 + 0 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 1 2 0 = 2 4 + 2 1 + 2 0 = 19 10 .

Такая форма записи «подсказывает» правило перевода натуральных двоичных чисел в десятичную систему счисления: необходимо вычислить сумму степеней двойки, соответствующих единицам в свёрнутой форме записи двоичного числа.

Получим из формулы (1") правило перевода целых десятичных чисел в двоичную систему счисления.

Разделим

а n-1 2 n-1 + а n-2 2 n-2 + ... + а 0 2 0 на 2.

Частное будет равно

а n-1 2 n-2 + ... + а 1 ,

а остаток будет равен а 0 .

Полученное частное опять разделим на 2, остаток от деления будет равен а 1 .

Если продолжить этот процесс деления, то на n-м шаге получим набор цифр:

а 0 , a 1 , a 2 , ..., a n-1

которые входят в двоичное представление исходного числа и совпадают с остатками при его последовательном делении на 2. При записи исходного числа в двоичной системе счисления следует учитывать, что остатки от деления на 2 нами получены в порядке, обратном порядку расположения соответствующих цифр в двоичном представлении исходного числа.

Пример 4 . Переведём десятичное число 11 в двоичную систему счисления. Рассмотренную выше последовательность действий (алгоритм перевода) можно изобразить так:

Выписывая остатки от деления в направлении, указанном стрелкой, получим: 11 10 = 1011 2 .

Пример 5 . Если десятичное число достаточно большое, то более удобен следующий способ записи рассмотренного выше алгоритма:

363 10 = 101101011 2

1.1.3. Восьмеричная система счисления

Восьмеричной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 8. Для записи чисел в восьмеричной системе счисления используются цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

На основании формулы (1) для целого восьмеричного числа можно записать:

Например: 1063 8 = 1 8 3 + 0 8 2 + 6 8 1 + 3 8 0 = 563 10

Таким образом, для перевода целого восьмеричного числа в десятичную систему счисления следует перейти к его развёрнутой записи и вычислить значение получившегося выражения.

Для перевода целого десятичного числа в восьмеричную систему счисления следует последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 8 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Исходное число в новой системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков, начиная с последнего.

Пример 6. Переведём десятичное число 103 в восьмеричную систему счисления.

1.1.4. Шестнадцатеричная система счисления

Основание: q = 16.

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F.

Здесь только десять цифр из шестнадцати имеют общепринятое обозначение 0,..., 9. Для записи цифр с десятичными количественными эквивалентами 10, 11, 12, 13, 14, 15 обычно используются первые пять букв латинского алфавита.

Таким образом, запись 3AF16 означает:

3AF 16 = 3 16 2 + 10 16 1 + 15 16 0 = 768 + 160 + 15 = 943 10 .

Пример 7 . Переведём десятичное число 154 в шестнадцатеричную систему счисления.

1.1.5. Правило перевода целых десятичных чисел в систему счисления с основанием q

Для перевода целого десятичного числа в систему счисления с основанием q следует:

последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, равное нулю;
полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;
составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего полученного остатка.

Составим таблицу соответствия десятичных, двоичных, восьмеричных и шестнадцатеричных чисел от 0 до 20.

В Единой коллекции цифровых образовательных ресурсов (http://school-collection.edu.ru/) размещена интерактивная анимация «Преобразование десятичного числа в другую систему счисления». С её помощью можно понаблюдать за переводом произвольного целого числа от 0 до 512 в позиционную систему счисления, основание которой не превышает 16.

В размещённой там же виртуальной лаборатории «Цифровые весы» вы сможете освоить ещё один способ перевода целых десятичных чисел в другие системы счисления - метод разностей.

1.1.6. Двоичная арифметика

Арифметика двоичной системы счисления основывается на использовании следующих таблиц сложения и умножения:

Пример 8 . Таблица двоичного сложения предельно проста. Так как 1 + 1 = 10, то 0 остаётся в данном разряде, а 1 переносится в следующий разряд.

Пример 9 . Операция умножения выполняется по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления, с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.

Таким образом, в двоичной системе умножение сводится к сдвигам множимого и сложениям.

1.1.7. «Компьютерные» системы счисления

В компьютерной технике используется двоичная система счисления, обеспечивающая ряд преимуществ перед другими системами:

двоичные числа представляются в компьютере с помощью достаточно простых технических элементов с двумя устойчивыми состояниями;
представление информации посредством только двух состояний надёжно и помехоустойчиво;
двоичная арифметика наиболее проста;
существует математический аппарат, обеспечивающий логические преобразования двоичных данных.

Обмен информацией между компьютерными устройствами осуществляется путём передачи двоичных кодов. Пользоваться такими кодами из-за их большой длины и зрительной однородности человеку неудобно. Поэтому специалисты (программисты, инженеры) на некоторых этапах разработки, создания, настройки вычислительных систем заменяют двоичные коды на эквивалентные им величины в восьмеричной или шестнадцатеричной системах счисления. В результате длина исходного слова сокращается в три, четыре раза соответственно. Это делает информацию более удобной для рассмотрения и анализа.

С помощью ресурса «Интерактивный задачник, раздел “Системы счисления”» (http://school-collection.edu.ru/) вы сможете проверить, насколько прочно вы усвоили изученный в этом параграфе материал.

Самое главное

Система счисления - это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел. Знаки, при помощи которых записываются числа, называются цифрами, а их совокупность - алфавитом системы счисления.

Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры в числе зависит от её положения в записи числа. Основание позиционной системы счисления равно количеству цифр, составляющих её алфавит.

Основанием позиционной системы счисления может служить любое натуральное число q > 1.

В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде:

А - число;

q - основание системы счисления;

а i - цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;

n - количество целых разрядов числа;

m - количество дробных разрядов числа;

q i - «вес» i-гo разряда.

Вопросы и задания

В разделе на вопрос Какие две формы записи чисел есть? заданный автором Просфора лучший ответ это В позиционных системах счисления количественный эквивалент (значение) цифры зависит от её места (позиции) в записи числа.
Позиция цифры в числе называется разрядом.
Разряд числа возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим.
Основанием позиционной системы счисления называется целое число, которое равно количеству цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.
Основание показывает, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении её в младший или старший разряд.
ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ОСНОВАНИЕМ
Возможно использование множества позиционных систем счисления, основание которых равно или больше 2.
В системах счисления с основанием q (q-ичная система счисления) числа в развернутой форме записываются в виде суммы ряда степеней основания q с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0, 1, …, q-1.
или
Aq – число в q-ичной системе счисления,
q – основание системы счисления,
Ai – цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления,
n – число целых разрядов числа,
m – число дробных разрядов числа.
Коэффициенты ai - цифры числа, записанного в q-ичной системе счисления.
Свернутая форма записи числа:
Свернутой формой записи чисел мы пользуемся в повседневной жизни,
её называют естественной или цифровой.
Для записи дробей используются разряды с отрицательными значениями степеней основания.
ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ
Основание: q = 10.
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Свернутая форма записи числа:
Развернутая форма записи числа:
Коэффициенты ai - цифры десятичного числа.
Например, число 123,4510 в развернутой форме будет записываться следующим образом:
Умножение или деление десятичного числа на 10 (величину основания) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной на один разряд вправо или влево. Например:
123,4510 · 10 = 1234,510;
123,4510: 10 = 12,34510.

Основанием позиционной системы счисления называется целое число q, которое возводится в степень.

Базисом позиционной системы счисления называется последовательность чисел, каждое из которых определяет количественный эквивалент (вес) символа в зависимости от его места в коде числа.

Базис десятичной системы счисления: …10 n , 10 n –1 ,…, 10 1 , 10 0 , 10 –1 , …, 10 – m ,…

Базис произвольной позиционной системы счисления: …q n , q n –1 , …, q 1 , q 0 , q –1 , …, q – m , …

Основание в любой системе изображается как 10, но имеет разное количественное значение. Оно показывает, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении ее на соседнюю позицию. Возможно множество позиционных систем, так как за основание системы счисления можно принять любое число, не меньшее 2.

Наименование системы счисления соответствует ее основанию (десятичная, двоичная, пятеричная и т. д.).

В системе счисления с основанием q (q -ичная система счисления) единицами разрядов служат последовательные степени числа q, иначе говоря, q единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего разряда.

Для записи чисел в q -ичной системе счисления требуется q различных знаков (цифр), изображающих числа 0, 1, ..., q – 1.

Следовательно, основание позиционной системы счисления равно количеству символов (знаков) в ее алфавите. Запись числа q в q -ичной системе счисления имеет вид 10.

Пример 1. Восьмеричная система счисления.

Основание: q = 8.

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7.

Числа: например, 45023,152 8 ; 751,001 8 .

Пример 2. Пятеричная система счисления.

Основание: q = 5.

Алфавит: 0, 1, 2, 3 и 4.

Числа: например, 20304 5 ; 324,03 5 .

Пример 3. Шестнадцатеричная система счисления.

Основание: q = 16.

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, E, F.

Здесь только десять цифр из шестнадцати имеют общепринятое обозначение 0-9. Для записи остальных символов алфавита (10, 11, 12, 13, 14 и 15) обычно используются первые пять букв латинского алфавита.

Числа: например, В5С3,1А2 16 ; 355,0FА01 8 .

В позиционной системе счисления любое вещественное число может быть представлено в следующем виде:

A q = ±(a n –1 ×q n –1 + a n –2 ×q n –2 +…+ a 0 ×q 0 + a –1 ×q –1 + a –2 ×q –2 +…+ a –m ×q –m ), (1) или ±.

Здесь А - само число; q - основание системы счисления;
а i - цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления; п - количество целых разрядов числа; т - количество дробных разрядов числа.

Разложение числа по формуле (1) называется развернутой формой записи . Иначе такую форму записи называют многочленной или степенной.

Пример 1. Десятичное число А 10 = 5867,91 по формуле (1) представляется следующим образом:

A 10 = 5×10 3 + 8 × 10 2 + 6 × 10 1 + 7 × 10 0 + 9 × 10 –1 + 1 × 10 –2 .

Пример 2. Формула (1) для восьмеричной системы счисления имеет вид:

A 8 = ±(a n –1 × 8 n –1 + a n –2 × 8 n –2 +…+ a 0 × 8 0 +a –1 ×8 –1 + a –2 ×8 –2 +…+ a –m ×8 –m ),

где а i - цифры 0–7.

Восьмеричное число A 8 = 7064,3 в виде (1) запишется так:

A 8 = 7 × 8 3 + 0 × 8 2 + 6 × 8 1 + 4 × 8 0 + 3 × 8 –1 .

Пример 3. Пятеричное число А 5 = 2430,21 по формуле (1) запишется так:

А 5 = 2 × 5 3 + 4 × 5 2 + 3 × 5" + 0 × 5° + 2 × 5 –1 + 1 × 5 –2 .

Вычислив это выражение, можно получить десятичный эквивалент указанного пятеричного числа: 365,44 10 .

Пример 4. В шестнадцатеричной системе счисления запись 3AF 16 означает:

3AF 16 = 3 × 16 2 + 10 × 16 1 + 15 × 16 0 = 768 + 160 + 15 = 943 10 .

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ И

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ОДНОЙ СИСТЕМЫ В ДРУГУЮ

Система счисления (СС)- это способ представления чисел и соответствующие ему правила действий над ними.

Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные

Основанием системы счисления - называют количество цифр используемых для записи чисел

Алфавитом СС - называют все цифры (знаки) используемые для записи чисел

Развернутая форма записи числа

Aq = a n a n-1 ..a 1 a 0 = a n q n + a n-1 q n-1 +..a 1 q 1 + a 0 q 0

q - основание

a i - цифры

n - количество разрядов целой части

m - количество разрядов дробной части

123,45 10 =100+20+3+0,4+0,05=1∙10 2 +2∙10 1 +3∙10 0 +4∙10 -1 +5∙10 -2

123,45 8 =1∙8 2 +2∙8 1 +3∙8 0 +4∙8 -1 +5∙8 -2

Таблица эквивалентов чисел

q=10	q=16	q=12	q=8	q=5	q=4	q=2
0	0	0	0	0	0	0
1	1	1	1	1	1	1
2	2	2	2	2	2	10
3	3	3	3	3	3	11
4	4	4	4	4	10	100
5	5	5	5	10	11	101
6	6	6	6	11	12	110
7	7	7	7	12	13	111
8	8	8	10	13	20	1000
9	9	9	11	14	21	1001
10	А	А	12	20	22	1010
11	В	В	13	21	23	1011
12	С	10	14	22	30	1100
13	D	11	15	23	31	1101
14	E	12	16	24	32	1110
15	F	13	17	30	33	1111
16	10	14	20	31	100	10000

Полужирным шрифтом выделены алфавиты в соответствующих системах счисления.

Правило перевода числа из любой системы счисления в десятичную

Чтобы перевести число в десятичную систему счисления надо:

1. записать число в развернутой форме

2. все цифры перевести в десятичную СС (для СС с q>10)

3. вычислить значение полученного выражения

123,45 8 =1∙8 2 +2∙8 1 +3∙8 0 +4∙8 -1 +5∙8 -2 =64+16+3+0,5+5/64=83,578 10

1BE,84 16 =1∙16 2 +B ∙16 1 +E ∙16 0 +8∙16 -1 +4∙16 -2 =

1∙16 2 +11 ∙16 1 +14 ∙16 0 +8∙16 -1 +4∙16 -2 =

256+11∙16+14∙1+0,5+0,015=446,515 10

Решите примеры:

2) 150 6 = А 10

4) DF 18 = А 10

5) 1АВ 16 = А 10

Правило перевода целых десятичных чисел в другие системы счисления:

1. Последовательно выполнять деление с остатком данного числа и получаемых неполных частных на основание новой СС до тех пор пока не получим неполное частное, меньшее делителя.

2. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой СС, привести в соответствие с алфавитом новой СС (для СС с q>10)

3. Составить число в новой СС, записывая все остатки, начиная с последнего частного

19 10 = 10011 2
19 10 = 13 16
205 10 = CD 16

Решите примеры:

1) 5 10 = А 5 = А 8 = А 15 = А 18

2) 15 10 = А 5 = А 8 = А 15 = А 18

1) 150 10 = А 5 = А 8 = А 15 = А 18

Быстрый Перевод в двоичную систему счисления разложением на степени двойки

Перевод числа в двоичную СС для некоторых чисел удобно производить вторым способом: разложением на степени двойки. Конечно, для этого эти степени надо знать наизусть;-)

19 10 = 16 + 2 + 1 = 2 4 + 2 1 + 2 0 =1∙2 4 + 0∙2 3 +0∙2 2 +1∙2 1 + 1∙2 0 =10011 2

Можно пропустить развернутую форму записи числа. Если степень есть, то ставим единицу, если по порядку степени нет (в нашем примере 3 и 2), то там ставим 0.

19 10 = 16 + 2 + 1 = 2 4 + 2 1 + 2 0 = 10011 2